Procesy nadobliczalne

John D. Barrow, znany polskiemu czytelnikowi popularyzator matematyki i nauk pokrewnych, popełnił ostatnio nową książkę, tym razem o nieskończoności (The infinite book, a short guide to the boundless, timeless and endles,Jonathan Cape, London 2004).
Książka ta jest magiczna, bowiem autor serwuje nam całe mnóstwo problemów z pogranicza matematyki, fizyki i filozofii, o których nawet nie mieliśmy pojęcia stąpając twardo po ziemi w naszym skończonym świecie.
Jednym z takich nieoczekiwanych zagadnień jest możliwość wykonywania nieskończenie wielu czynności w skończonym czasie. Gdy połączyć kilka komputerów ze sobą to ich szybkość wykonywania operacji wzrasta proporcjonalnie do ich ilości. Zasadniczym zagadnieniem nie jest to, czy wzrost prędkości operacji cyfrowych będzie postępował zgodnie z trendem odkrytym przez Gordona Moore'a, ale czy komputer kiedykolwiek będzie mógł wykonać nieskończenie wiele operacji w skończonym czasie.
Właściwie to, dlaczego, miałby to być „komputer” – czy dowolna maszyna dokona nieskończenie wiele dowolnych operacji w skończonym czasie? Czy powstanie kiedyś „maszyna nieskończoności” jakiegokolwiek rodzaju?
W poszukiwaniu odpowiedzi stworzono odpowiednią terminologię problemu, a jednemu z hipotetycznych zadań, które wymaga wykonania nieskończenie wielu kroków w ciągu skończonego czasu dano nazwę super-task.
Technicznie proces określany jako „super-task” oznacza, że wykonane w skończonym czasie zadania tworzą zbiór nieskończony przeliczalny. Jeśli wykonane w skończonym czasie zadania tworzą zbiór nieskończony nieprzeliczalny, to wtedy określamy go terminem „hyper-task”.
Propozycję polskiego tłumaczenia terminów „super-task” i „hyper-task” oparłem na analogii z fizyki. W fizyce występują pojęcia „przewodnik” i „nadprzewodnik”, przy czym nadprzewodnik w odróżnieniu od przewodnika ma teoretycznie nieskończoną przewodność elektryczną. Rozwijając tę analogię procesy „super-task” nazwę procesami nadobliczalnymi przeliczalnymi, a procesy nazywane „hyper-task” procesami nadobliczalnymi nieprzeliczalnymi.
Gdyby takie procesy były możliwe do zrealizowania, to można by osiągnąć bardzo zadziwiające rzeczy. Alan Turing, pionier informatyki, wykazał, że istnieją matematyczne operacje, które nie mogą być wykonane przez jakikolwiek komputer w skończonej liczbie kroków. Nazywa się je funkcjami nieobliczalnymi a ich istnienie jest ściśle związane ze sławnym twierdzeniem Kurta Gödla o niezupełności. Twierdzenie to uczy nas, że istnieją w arytmetyce zdania, których prawdziwości lub fałszu nigdy nie będzie można dowieść za pomocą aksjomatów arytmetyki. Znanych jest wiele funkcji nieobliczalnych, ich cechą charakterystyczną jest to, że komputer, który miałby je wykonać nigdy by się nie zatrzymał.
Ale przypuśćmy, że posiadamy komputer mogący wykonać proces nadobliczalny. Otwierają się wtedy zupełnie rewolucyjne możliwości. Nieobliczalne zadania mogłyby być rozwiązywane w skończonym czasie. Jeszcze lepiej, wiele nierozwiązanych wielkich problemów matematyki mogłoby być rozwiązanych metodą bezpośredniego poszukiwania w nieskończenie wielu możliwych rozwiązaniach.
A jak fizyka widzi możliwość realizacji takich procesów?
Matematycy badający teorię Newtona stwierdzili, że ma ona bardzo dziwne własności. Jeśli zebrać razem więcej niż cztery masy, to pojawiają się takie rozwiązania równania Newtona, w których odległość między dowolnymi dwoma masami będzie zwiększać się z większą szybkością niż jakakolwiek, którą zechcemy określić. W świecie rządzonym prawami względności odległość nie może wzrastać szybciej niż w prostej proporcji do czasu. To oznacza, że układ mas może stać się nieskończenie duży, ale wierzono, że zawsze potrzebuje na to nieskończenie długiego czasu.
W 1971 roku, Jeff Xia z Northwestern University dokonał przełomowego odkrycia. Pokazał mianowicie, że układ składający się z więcej niż czterech ciał podlegających prawu grawitacji Newtona może stać się nieskończenie rozseparowany w skończonym czasie. W klasyczny przykładzie Xia cztery równe masy tworzą dwa układy podwójne, w których każde dwie masy orbitują z taką samą, lecz przeciwną prędkością liniową, tak że całkowity moment pędu jest równy zero. Ich płaszczyzny orbit są do siebie równoległe. Następnie Xia wprowadza lżejsze ciało, które porusza się tam i z powrotem po prostej łączącej środki orbit.
Za każdym razem, gdy mniejsze ciało styka się z silniejszym oddziaływaniem jednej z par, tworzy z nimi chwilowy układ trzech ciał i następnie zostaje silnie odrzucone wstecz, tak jak piłeczka pingpongowa, a wtedy każda z orbitujących par zacieśnia trochę swoją orbitę. Xia pokazał, że proces ten trwa ciągle i pary oddalają się od siebie, podczas gdy małe ciało oscyluje tam i z powrotem ze wciąż zwiększającą się prędkością.
Zadziwiające, że maksymalna odległość między parami staje się nieskończona w skończonym czasie. Jedyna pociecha jest taka, że warunki początkowe potrzebne do uzyskania tego wyniku są bardzo mało prawdopodobne. To dramatyczne zachowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy więcej niż cztery ciała oddziałują siłami grawitacyjnymi, lecz nie wiadomo czy podobne rezultaty można otrzymać w przypadku tylko czterech ciał.
Teoria grawitacji Einsteina nie zezwala na pojawianie się takich sytuacji. Istnieje maksymalne „kopniecie’, jakie może wywrzeć układ trzech ciał na swoje składniki: nie może odrzucić jednego z nich z prędkością większą niż prędkość światła. Dwa ciała nie mogą znaleźć się dowolnie blisko siebie, dlatego istnieje także maksymalna siła grawitacji, którą jedno ciało może wywrzeć na drugie. Jeśli jednak spróbują, to w końcu stworzą lokalne pole grawitacyjne, które będzie na tyle mocne, że powstanie z nich obu czarna dziura.
Teoria względności prowadzi do interesujących konsekwencji kosmologicznych.
Kosmolodzy zawsze interesowali się złożonością początku ekspansji Wszechświata i zagadnieniem co się stanie, jeśli odwróci on swój bieg do fazy kurczenia się i osiągnie Wielki Kres.
Najprostszy do wyobrażenia tego rodzaju wszechświat rozpoczyna w przeszłości ekspansję z taką samą prędkością jednocześnie we wszystkich kierunkach w określonym momencie czasu, który oznaczymy jako zero, i w skończonym czasie w przyszłości powraca do kresu w końcu fazy kurczenia.
W rzeczywistości nie oczekujemy, że wszechświaty będą się rozszerzać z dokładnie taką samą prędkością w każdym kierunku, a gdy staną się w ten sposób asymetryczne zaczną zachowywać się w skomplikowany sposób.
Chociaż rozszerzają one swą objętość, to jeden z kierunków zaczyna się kurczyć, podczas gdy dwa pozostałe powiększają się tworząc rozszerzający się „naleśnik”. Wkrótce kurczący się kierunek przemienia się w rozszerzający, a jeden z rozszerzających się zaczyna się kurczyć. W dłuższej perspektywie czasowej, efektem jest ciąg oscylacji, które występują na skutek losowych permutacji szybkości rozszerzania się w różnych kierunkach.
Takie zachowanie zostało odkryte przez amerykańskiego fizyka Charlesa Misnera w 1969 roku, który nazwał je Wszechświatem „Mixmastera”, przy czym Mixmaster to nazwa własna popularnego w Ameryce miksera!
Uderzającą cechą tych ciągów oscylacji objętości wszechświata, gdy odwrócić jego bieg ku Wielkiemu Wybuchowi lub skierować ku momentowi Wielkiego Kresu jest to, że występują nieskończenie wiele razy.
Gdyby istniał uniwersalny komputer, który mógłby przetwarzać „bit” informacji za każdym razem, kiedy pojawia się oscylacja w ekspansji pomiędzy dwoma kierunkami, taki wszechświat stałby się nieskończonym zbiorem operacji. Dokonałby się proces nadobliczalny. Ale ponieważ jest to cały wszechświat, to nie wysyła informacji dokądkolwiek.
P.S
Kto zgadnie, czego analogią (jakich paradoksów) są procesy nadobliczalne?